Cómo se enseña y cómo se aprende la Matemática hoy?

Todos los años los ingresos a distintas facultades desnudan las falencias que los alumnos presentan en torno a los conocimientos de Matemática. ¿Causas?

Los alumnos culpan a la mala enseñanza de la escuela media,. Los profesores al poco interés y estudio por parte de los alumnos. La sociedad al Sistema educativo. El Sistema educativo...

¿Será cierto que los alumnos no estudian lo suficiente?. ¿Los contenidos no se adaptan a su edad?¿ Los profesores no enseñan en forma comprensiva sino que se limitan a transferir conocimientos?

¿Qué tipo de errores comenten los alumnos?. ¿Por qué los cometen?

No es lo mismo no recordar las “tablas de multiplicar” que comprender el comportamiento de las fracciones en distintos contextos de aplicación.

No es lo mismo repetir mecánicamente una regla a reconocer dónde, cuándo y por qué se debe emplear.

El universo de interrogantes es muy amplio.

No creemos que la respuesta a estos interrogantes den solución al problema del aprendizaje de la Matemática.. Pero si, hace que, desde nuestra perspectiva docente debemos replantearnos ¿Cómo se enseña y cómo se aprende?.

Enseñar por medio de problemas

Trabajar en Matemática es resolver problemas ¿Cuáles?. La enseñanza clásica propone enseñar primero los algoritmos y luego presentar problemas para que los alumnos apliquen lo aprendido.

Observemos la respuesta de una niña de primer año EGB1 frente al problema planteado por su maestra.

Mamá compró 12 muñequitos para darle uno a cada uno de los amigos de Tomás, en su fiesta de cumpleaños. Si vinieron 8. amiguitos ¿Cuántos muñequitos le sobraron ?

A -“ Sobraron cuatro?.

D - ¿Cómo sabes que sobraron cuatro?. (La niña pasa al pizarrón y escribe 8 + 4 = 12) y señalando el 4 dice; -“ Ves que sobraron cuatro.

La docente esperaba que la alumna restara. 12 - 8 = 4., ya que esta era la “cuenta” que solucionaba el problema.

¿Era la única cuenta?.

Es evidente que descubrir que existen distintos procedimientos para resolver una situación es más rico y productivo que “sólo hacer la cuenta”. Y si además observamos que los niños descubren distintos "sentidos" de las operaciones, mejor aún.

Observemos ahora un fragmento de una clase sobre la enseñanza del algoritmo de la división

D: ahora tienen que resolver las otras que están en el pizarrón (cuentas de dividir)

A mí no me sale.

D: ¿por qué?

A: seño. 845 : 41 te da cerca de 20. (El alumno calcula en forma aproximada el cociente).

D: Primero decime por qué el cociente tiene dos cifras.

A: Yo hice cuentas y vi.

D:¿Qué cuentas?.

A: 10 x 33 = 330 y después hice 15.

D: ¿Y por qué llegaste a 15?:

A: Porque tengo que ir acercándome a 583

D: Ahora vean la otra cuenta.

A: Si haces 845 : 41 el cociente tiene dos cifras . D:¿por qué?.

A: Porque 41 x 10 = 410

D: ¿Por qué está bien?.

A(Karen): Porque tiene que dar la misma cantidad de cifras que el divisor (La alumna concluye que, como es todas las cuentas anteriores, el cociente tenía dos cifras, siempre tiene que tener la misma cantidad el divisor y el cociente.)

A(Yamila): NO, no es cierto, Karen, dijo que el cociente tiene que tener la misma cantidad de cifras que el divisor y si haces 100: 100 te da 1 y no tiene la misma cantidad de cifras (Nace la Teoría Yamila)(Emplea un contraejemplo)

A: Seño,. a 41 lo multiplico por 20 y da 840

D: ¿Cuál está más cerca del resultado, el número cuya decena es 1 o 2?.

A: El que es 2 . D: ¿Hay otro más cerca?.

A:Es el más cercano porque si lo multiplicas por 21 te da mayor.

D: ¿Entonces el 20 es el más cercano?.

Todos: Si

A: La teoría de la seño es que multiplicando, dividís, obviando dividir.

A3: Tarea vacacional. Una carátula con todas las teorías. La de Alexis, la de Rodrigo,

D: Estaría muy bien hacerlo . Todos : Uh, uh.uh

(Instituto Mons. Aneiros de San José - 4to. Año EGB2 - Docente: Alicia Cansell Fecha:15 /7/ 2004)

¿Será cierto que enseñando las “cuentas” los niños aprenden a razonar?.

Otro ejemplo:

María tiene 20 figuritas y quiere repartirlas en partes iguales entre 4 amigos. ¿Cuántas figuritas debe darle a cada uno?.

María tiene 20 figuritas y quiere darle 4 figuritas a cada uno de sus amigos. ¿Para cuántos amigos le alcanzan?.

Ambos problemas se resuelven con la cuenta 20 dividido 4. Pero, ¿son iguales?. El primero la acción indica repartir en partes iguales; el segundo implica una partición en 5 conjuntos de 4 caramelos cada uno.

En general, un niño que ha aprendido que “dividir” es repartir en partes iguales no reconoce el segundo problema como un problema de división.

Con esto se no se propone no presentar problemas de aplicación de algún concepto aprendido. Pero, no sería mejor presentar problemas que representen verdaderos desafíos para nuestro alumnos y,, a partir de ellos enseñar los conceptos nuevos.

Todo alumno debe comprender

• Cuáles son las herramientas necesarias para resolver ciertos problemas y distinguirlos de otros que emplean otras herramientas..

• Que pueden variar los procedimientos y todos ser válidos.

• Que los problemas pueden presentar datos de más, o de menos.

• Que los problemas pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles.

• Qué cada uno tiene la posibilidad de buscar, crear y validar un procedimiento. Nada está hecho.

EL cálculo mental

Al hablar de cálculo mental muchos suponen que es el cálculo que se realiza sin lápiz y sin papel. Como dirían los chicos con “la mente”. Algunos autores piensan que es mucho más que esto, y consideran que es mejor denominarlo cálculo pensado o cálculo reflexivo.
Podríamos decir que se denomina cálculo mental al calculo que se realiza sin tener en cuenta algoritmos preestablecidos.Así , por ejemplo para resolver 45 + 18 se puede pensar en hacer 47 + 20, pues

	45	45+2	=47
-	18	18+2	=20
	________	___________	_________
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¿Para qué sirve enseñar el calculo mental?.

1) Posibilitan mejoras en el momento de resolver problemas. Los alumnos pueden visualizar el problema más fácilmente pues tienen idea de los resultados que buscan.

Ejemplos: Para sumar: 5 + 3 + 4 + 7 + 6 se puede resolver así: 5 + 3 + 7 + 4 + 6 = 5 + 10 + 10

Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.

Ejemplo 2. 135 + 45 = , se puede resolver 135 + 5 + 40 (el 45 se descompone como 5 + 40) luego : 140 + 40 = 180 O bien 135 + 45 = 130 + 5 + 45 (se descompone el 135 como 130 + 5) luego 130 + 50 = 180

Para multiplicar: 4 x 39 x 25 = 4 x 25 x 39 ( al aplicar la propiedad conmutativa se observa que 4 x 25 = 100 ) luego 100 x 39 = 3900

2) Permiten una mejor “lectura” de los números , y de toda la situación en sí.

¿Cuál es el número de cifras del cociente de 878 : 22?

Los alumnos deducen que 2 cifras, pues 22 x 10 es 220, se acercan al dividendo sin pasarlo, en cambio 22 x 100 = 2200 que es mayor que 878.

3) Permiten trabajar con relaciones estrictamente matemáticas. Una niña de jardín de infantes ( 5 cinco años) al jugar con una lotería, en la escuela, comentó, mientras sus compañeros colocaban los dedos para encontrar el resultado:

(Debían tirar dos dados, sumar los resultados y buscar el número en su cartón de juegos. Sale en un dado 5 y en el otro 6.
Alumna: eso da 11.

Docente: ¿Cómo sabes que da 11?.

Alumna: Mirá. 5 + 5 = 10 , 6 es uno más que 5. Entonces tiene que ser una más que 10. Es 11.

Un niño de 2do. Año EGB1. Cuándo le preguntan cuánto es 6 x 4, responde.

Alumno: 24

Docente: ¿Cómo sabes que es 24?.

Alumno: me acordé que 4 x 5 es 20 y le sumé 4.

4) Permiten descomposiciones de números diferentes a las tradicionalmente enseñadas,

El número 345 es pensado no sólo como 3 centenas, 4 decenas y 5 unidades. Sino como 34 decenas, 5 unidades, 300 + 40 + 5. 23 x 15, etc.

5) Favorecer el aprendizaje de los algoritmos conocidos y saber cuándo y por qué conviene emplearlos. ½ + ¼ será pensado como 2/4 + ¼ , sin recurrir a algoritmos clásicos.

Algunas propuestas

a) Proponer y hacer observar cómo se van obteniendo los distintos cálculos que son iguales a 12

10 + 2 = 12

9 + 3 = 12

8 + 4 = 12

7 + 5 = 12

6 + 6 = 12

b) Proponer distintas formas de descomposición que simplifiquen el cálculo. 8 + 3 = 8 + 2 + 1 = 10 + 1

15 + 9 = 14 + 10 = 24 o bien 14 + 1 + 9 = 14 + 10 = 24

c) Proponer cálculos cómo el siguiente; 25 x 15 = 25 x (10 + 5 ) = 250 + 125 = 375 Multiplicar por 15 implica multiplicar por 10 y sumar la mitad de lo obtenido, pues 5 es la mitad de 10.

El trabajo no se reduce a “enseñar” los cálculos. Debe ser construido con los alumnos a través del análisis de su funcionamiento. ¿Por qué se puede hacer esto?. ¿Siempre es así?. ¿De qué depende?.

d) Frente al problema: Sabiendo que 25 x 15 = 375

Resolver: 26 x 15 = Deberá ser pensado como

si 25 x 15 es 25 veces 15, entonces 26 x 15 = 375 + 15 = 390

Ya que debe pensarse como 26 veces 15.

d) Ordenar, sin hacer la cuenta: 56 + 17
56 + 25
56 + 18
56 + 32
56 + 26